效用函数和无差异曲线

完全替代的效用函数

一般来说，完全替代类型的偏好可用下列形式的效用函数表示:

$𝒖(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )=𝒂𝒙_𝟏+𝒃𝒙_𝟐$

此处，a 和 b 均为正数，分别表示商品 1 和 2 的“价值”。注意，它的无差异曲线的斜率为− a /b

完全互补的效用函数

一般地，刻画完全互补类型偏好的效用函数具有下列形式

$u(x_1,x_2)=min\{ax_1,bx_2\}$

其中a和b是正数，表示两商品的搭配比例

边际效用

假设某消费者消费的商品束为(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )，如果我们多给他一点商品 1，他的效用将怎样变化？这个变化比率称为商品 1 的边际效用（marginal utility）。我们将其记为 MU1 ，它是一个比率：

$MU_1=\frac{\Delta U}{\Delta x_1}=\frac{u(x_1+\Delta x_1,x_2)-u(x_1,x_2)}{\Delta x_1}$

它衡量效用变化∆u 与商品 1 数量变化 ∆x1 的比率
这个定义表明，为了计算商品 1 消费数量的微小变化引起的效用变化，只要将消费的变化量乘以该商品的边际效用即可：

$\Delta U=MU_1 \Delta x_1$

类似地，可以定义商品 2 的边际效用：

$MU_2=\frac{\Delta U}{\Delta x_2}=\frac{u(x_1,x_2+\Delta x_2)-u(x_1,x_2)}{\Delta x_2}$

注意，当计算商品 2 的边际效用时，我们保持商品 1 的消费量不变。我们可以用下式计算商品 2 消费量变化引起的效用变化

$\Delta U=MU_2 \Delta x_2$

很重要的一点，是要知道边际效用的大小取决于效用的大小。因此，边际效用取决于我们选取的效用衡量方法。如果我们将效用（函数）乘以 2，则边际效用也乘以 2。这样处理我们仍可得到一个完全有效的效用函数，因为它表示同样的偏好，区别仅在于标记的数值不同。

边际效用和边际替代率

可以使用效用函数𝒖(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )计算边际替代率（MRS）。我们已知道 MRS衡量无差异曲线在给定商品束那一点的斜率；可以认为 MRS 是一个比率，消费者恰好愿意按此比率用一定数量的商品 2 替代商品 1。
这样我们就有了计算 MRS 的一种简便方法。假设两种商品消费量的变化（ ∆x1 ,∆x2）恰好使效用不变，即消费量沿着一条无差异曲线变动。于是必然有

$MU_1 \Delta x_1 + MU_2 \Delta x_2 = \Delta U = 0$

解出无差异曲线的斜率，可得

$MRS_12=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=- \frac{MU_1}{MU_2}$

MRS 的代数符号为负：如果你增加商品 1 的消费那么你必须减少商品 2 的消费，才能使效用不变。然而，时刻牢记这个负号让人厌烦，因此经济学家通常将 MRS 的绝对值（即一个正数）当作 MRS。在不至于混淆的前提下，我们遵循这种惯例。

进行单调变换只是对无差异曲线重新标记，MRS 的计算仍然沿着同一条无差异曲线进行。尽管单调变换改变了边际效用数值，但边际效用的比率与你标记偏好的方法无关。

预算约束

预算约束budget constraints

消费者因为收入有限而面临的约束

$p_1x_1+p_2x_2 \le m$

预算线budget line

购买商品的支出等于收入时所购买的所有商品组合，即将收入m恰好花完的消费束集合

$p_1x_1+p_2x_2 = m$

预算集（budget set）

在价格（p1,p2）和收入m下可以买得起的消费束。

预算线

$𝒙_𝟐=\frac{m}{p_2} −\frac{p_1}{p_2}x_1$

横截距𝒎∕𝒑_𝟏 和纵截距𝒎∕𝒑_𝟐 ，分别表示如果消费者将全部收入分别用于购买商品 1 和商品 2 所能购买到的数量。将这两个截距在坐标轴上标注出来，用一条直线连接它们就得到了预算线。

预算线的斜率有个美妙的经济学解释。它衡量市场中商品 1 替代商品 2 的比率。假设消费者打算增加商品 1 的消费量，增加量用 ∆x1 表示。在这种情形下，商品 2 的消费量如何变化才能恰好满足预算约束？令 ∆x2 表示商品 2 消费量的变化量。

由于消费量变动前后，他的消费都满足预算约束，因此必有：〖𝒑_𝟏 𝒙〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒙_𝟐=𝒎，𝒑_𝟏 (𝒙_𝟏+∆𝒙_𝟏 )+𝒑_𝟐 (𝒙_𝟐+∆𝒙_𝟐 )=𝒎
第一个等式减去第二个等式，可得：

𝒑_𝟏 (∆𝒙_𝟏 )+𝒑_𝟐 (∆𝒙_𝟐 )=𝟎，即消费变动价值之和为0

𝒑_𝟏 (∆𝒙_𝟏 )+𝒑_𝟐 (∆𝒙_𝟐 )=0

(∆𝒙_𝟐)/(∆𝒙_𝟏 )=−𝒑_𝟏/𝒑_𝟐 , 满足预算约束条件下，用商品1替代商品2的比率。
这正是预算线的斜率。该式的符号为负，因为∆x1 和 ∆x2 变动的方向相反。如果你多消费（少消费）商品 1，你必须少消费（多消费）商品 2，才能继续满足预算约束。

经济学家有时会说预算线的斜率衡量了消费商品 1 的机会成本 （opportunity cost）。为多消费一些商品 1，你必须放弃商品 2 的一些消费。放弃消费商品 2 的机会是多消费商品1 的真实经济成本，这样的经济成本以预算线的斜率衡量。

预算集

预算集（budget set）：在价格（p1,p2）和收入m下可以买得起的消费束。

收入增加不会影响预算线斜率，因为预算线斜率由商品相对价格决定

但是预算线截距会增加，因而预算线向外平移

同理，收入下降，预算线向内平移。

购买力（purchasing power）既受到收入影响，也受价格影响

你也可以用相对价格变化来考察预算线斜率变化。

预算线变动总结

首先，由于当所有的价格和收入同乘以一个正数不会改变预算集，最优消费束也不会变动。无需分析消费者的具体选择过程，我们就已得出了一个重要的结论：完全平衡的通货膨胀（即所有商品价格和收入都按相同比率上升），不会改变任何人的预算集，因此也不会改变任何人的最优选择。

其次，我们可以说明消费者在不同价格和收入水平下的福利情况。假设消费者的收入增加并且所有商品的价格不变。我们知道这表示预算线向外平移。因此，在较低收入水平下的任何消费束，在收入增加之后，自然仍然还能买得起。这意味着消费者在较高收入水平下的状况，不会比在较低收入水平下的状况差。原因在于，收入增加后，他的选择不仅包含原来的所有消费束，而且还能购买一些新消费束。类似地，如果一种商品价格下降但其余变量不变，消费者的状况也不会比原来的状况差。

消费者选择

效用最大化的市场篮子必须满足两个条件：

1. 它必须位于预算线上
2. 它必须能给予消费者其最偏好的商品和服务组合

这两个条件使得消费者满足最大化的问题简化为在预算线上选择一个合适的点的问题

注意最优消费束的重要特征：在最优选择处，无差异曲线和预算线相切。

为何需要相切：如果无差异曲线和预算线不相切，那它就会预算线相交，沿着预算线在交点附近的某些点就会位于这条无差异曲线的上方，这表明交点不是最优消费束。

相切的含义：两种商品的边际替代率等于价格之比。

消费者选择—最大化消费者的满足

满足程度最大化的(在既定的预算约束下)点符合：

MRS =ΔC/ΔF= PF/PC
ΔC * PC=ΔF* PF

边际收益(marginal benefit)

额外消费1单位商品所获得的收益

边际成本(marginal cost)

额外消费1单位商品所支付的成本

角点解

角点解（Corner solution）消费者只消费商品束中的一种商品
所选择的市场篮子中一种商品的MRS不等于预算约束线斜率的情况

在角点解B点时，冰淇淋对酸奶的MRS要大于预算线的斜率。
这表明如果能够放弃更多的酸奶以获得冰淇淋，消费者愿意如此。
但此时没有更多的酸奶可以放弃

边际效用与消费者选择

边际效用marginal utility (MU)

额外增加一单位商品的消费所获得的总效用的增量

边际效用递减规律diminishing marginal utility

随着一种商品的消费越来越多，其边际效用越来越小。

显示偏好

如果一位消费者选择购买了两个市场篮子中的一个，并且被选中的市场篮子比另一个更贵，那么他必定偏好那个被选中的市场篮子。

假设当消费者的收入为𝒎 ，两商品的价格为(𝒑_𝟏,𝒑_𝟐 )时，需求束为(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )。在同样的收入和价格水平下， (𝒚_𝟏,𝒚_𝟐 )能买得起的意思是说(𝒚_𝟏,𝒚_𝟐 )满足预算约束: 〖𝒑_𝟏 𝒚〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒚_𝟐≤𝒎
在上述给定预算下，实际购买的是(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )，则它必须满足预算等式约束：〖𝒑_𝟏 𝒙〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒙_𝟐=𝒎
由此推出：〖𝒑_𝟏 𝒙〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒙_𝟐≥〖𝒑_𝟏 𝒚〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒚_𝟐
如果上述不等式成立，且两个商品束不同，我们说(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )被直接显示偏好（directly revealed preferred）于(𝒚_𝟏,𝒚_𝟐 )

不等式的左端是，在价格(𝒑_𝟏,𝒑_𝟐 )下实际购买的商品束的支出。因此，显示偏好表示的是在某预算情形下，下列二者之间的关系：实际购买的商品束与本来可买但未买的商品束。
术语“显示偏好”有些误导。它在本质上和偏好一点关系也没有，尽管我们已知道如果消费者做出最优选择，偏好和显示偏好密切相关。因此，与其说“X被显示偏好于Y”，不如说“X优先于Y被选择。”
当我们说X被显示偏好于Y，我们全部的意思是说，在X和Y都能被选择的情况下，实际选择的是X。

显示偏好原理（The Principle of Revealed Preference）。令(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )是价格水平为(𝒑_𝟏,𝒑_𝟐 )时消费者选择的商品束， (𝒚_𝟏,𝒚_𝟐 )是满足条件〖𝒑_𝟏 𝒙〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒙_𝟐≥〖𝒑_𝟏 𝒚〗_𝟏+𝒑_𝟐 𝒚_𝟐的其他商品束，则如果消费者在Ta能买得起的商品束中选择最好的，必有(𝒙_𝟏,𝒙_𝟐 )≻ (𝒚_𝟏,𝒚_𝟐 )。
“显示偏好”表示当Y可选择时实际选择的是X；“偏好”则表明消费者将X排在Y的前面。如果消费者选择能买得起的消费束中最好的，则“显示偏好”意味着“偏好”，但这个结论是根据消费者行为模型推知，而不是由显示偏好的定义推知。

复原偏好